Odds and Ends

英語多読

統計で英語多読 4-1: 離散型分布① — 二項分布とベルヌーイ分布

二項分布とベルヌーイ分布を題材にした英語多読ユニット。約560語の英文と全文日本語訳で、成功か失敗かの試行のモデル化をたどります。

ストック

英語多読 統計

「大人のための英語多読図書館」へようこそ。今回は、結果が「成功か失敗か」の2つしかないベルヌーイ試行と、それを繰り返したときの成功回数を表す二項分布を、英語の文章でたどっていきます。

📊 このユニットの情報 語数: 約560語 / 推定読了時間: 5〜6分 / 難易度: ★★☆☆☆(初中級)

Learning Objectives

みなさんこんにちは。大人のための英語多読図書館へようこそ。

今回は、確率分布の中でも基本となる「離散型確率分布」の世界に足を踏み入れます。特に、結果が「成功か失敗か」「YesかNoか」の2つしかないシンプルな試行に注目します。

例えば、コインを1回投げて「表が出るか、裏が出るか」。このような試行をベルヌーイ試行と言います。そして、その試行を何回か繰り返したときに、「表が合計で何回出るか」の確率を教えてくれるのが二項分布です。

この記事を読めば、コイントスや製品検査など、身の回りの多くの事象がどのような確率のルールに従っているのかが分かります。

それでは今回も多読を楽しんでいきましょう。

Summary

  • Bernoulli Trial: A trial or experiment with only two possible outcomes, typically labeled "success" and "failure."
  • Binomial Distribution: Describes the number of successes in a fixed number of independent Bernoulli trials with the same probability of success.
  • Key Parameters: The binomial distribution is defined by two parameters: n (the number of trials) and p (the probability of success in a single trial).
  • Expected Value and Variance: The expected value (mean) of a binomial distribution is \(E[X] = np\), and the variance is \(V[X] = np(1-p)\).

Explanation

The Building Block: The Bernoulli Trial

Let's start with the simplest kind of experiment: a Bernoulli trial. This is a special name for a trial that has only two possible outcomes. We usually call these outcomes "success" and "failure."

Think about these examples: - Flipping a coin: The outcome is either heads (success) or tails (failure). - A quality check for a product: The product is either good (success) or defective (failure). - A student taking an exam: The student either passes (success) or fails (failure).

In a Bernoulli trial, we denote the probability of success as \(p\). Since there are only two outcomes, the probability of failure is automatically \(1-p\).

Repeating the Trial: The Binomial Distribution

Now, what happens if we repeat a Bernoulli trial multiple times? For example, what if we flip a coin not just once, but 10 times? This is where the Binomial Distribution becomes very useful.

A binomial distribution helps us calculate the probability of getting a certain number of successes in a fixed number of trials. For this to work, two important conditions must be met: 1. Fixed number of trials: We need to know exactly how many times we are repeating the trial (e.g., flipping a coin 10 times). We call this number \(n\). 2. Independence and Constant Probability: Each trial must be independent of the others. This means the outcome of one coin flip doesn't affect the next one. Also, the probability of success, \(p\), must be the same for every trial.

Let's imagine we flip a fair coin (\(p=0.5\)) three times (\(n=3\)). What is the probability of getting exactly two heads (successes)?

There are three ways this can happen: 1. Heads, Heads, Tails (HHT) 2. Heads, Tails, Heads (HTH) 3. Tails, Heads, Heads (THH)

The probability of any one of these specific sequences is: \(P(\text{HHT}) = 0.5 \times 0.5 \times (1-0.5) = 0.125\) Since all three sequences have the same probability, the total probability of getting exactly two heads is: \(3 \times 0.125 = 0.375\)

The general formula for the binomial distribution is: \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

Here, \(X\) is the random variable for the number of successes, and \(k\) is the specific number of successes we are interested in (e.g., 2 heads). The term \(\binom{n}{k}\) (read as "n choose k") is the number of combinations, which tells us how many different ways we can get \(k\) successes in \(n\) trials.

Expected Value and Variance

The binomial distribution has a very intuitive mean and variance. - Expected Value (Mean): \(E[X] = np\) This makes sense. If you flip a fair coin 100 times, you would expect to get \(100 \times 0.5 = 50\) heads. - Variance: \(V[X] = np(1-p)\) The variance measures the spread of the distribution. It's largest when \(p=0.5\) (maximum uncertainty) and smallest when \(p\) is close to 0 or 1.

The binomial distribution is a fundamental tool in many fields, including quality control, finance, and social sciences, because it allows us to model and understand situations built on repeated, simple "yes/no" events.

まとめ

今回は、離散型分布の出発点として、結果が「成功か失敗か」の2つしかないベルヌーイ試行と、それを独立に何回も繰り返したときの成功回数を表す二項分布を見てきました。二項分布は試行回数\(n\)と成功確率\(p\)という2つのパラメータで決まり、期待値は\(np\)、分散は\(np(1-p)\)というシンプルな形になります。コイントスや製品検査のように、繰り返される単純な「はい・いいえ」の事象をモデル化できるのが大きな強みです。

次回は、同じ離散型分布の仲間である「ポアソン分布」と「幾何分布」を取り上げ、まれに起こる事象の回数や、成功するまでにかかる回数の確率を見ていきます。

日本語訳(全文)

英文を最後まで読み終えてから、答え合わせ用にお使いください。多読の原則として、まずは訳を見ずに英文だけで理解を試みることをおすすめします。

Summary

  • ベルヌーイ試行: 起こりうる結果が2つしかない試行や実験のこと。通常、「成功」と「失敗」と呼ばれます。
  • 二項分布: 成功確率が同じ独立なベルヌーイ試行を一定回数繰り返したときの、成功回数を表します。
  • 主要なパラメータ: 二項分布は2つのパラメータで定義されます。n（試行回数）とp（1回の試行における成功確率）です。
  • 期待値と分散: 二項分布の期待値（平均）は\(E[X] = np\)、分散は\(V[X] = np(1-p)\)です。

基本要素: ベルヌーイ試行

まずは最もシンプルな実験から始めましょう。ベルヌーイ試行です。これは、起こりうる結果が2つしかない試行につけられた特別な名前です。私たちはふつう、これらの結果を「成功」と「失敗」と呼びます。

次の例を考えてみてください。 - コインを投げる: 結果は表（成功）か裏（失敗）のどちらかです。 - 製品の品質チェック: 製品は良品（成功）か不良品（失敗）のどちらかです。 - 試験を受ける生徒: 生徒は合格（成功）か不合格（失敗）のどちらかです。

ベルヌーイ試行では、成功する確率を\(p\)と表します。結果は2つしかないので、失敗する確率は自動的に\(1-p\)になります。

試行を繰り返す: 二項分布

では、ベルヌーイ試行を何度も繰り返すとどうなるでしょうか。たとえば、コインを1回だけでなく10回投げたらどうでしょう。ここで二項分布がとても役に立ちます。

二項分布は、一定回数の試行の中で、ある特定の回数だけ成功する確率を計算する助けになります。これが成り立つには、2つの重要な条件を満たす必要があります。 1. 試行回数が一定: 試行を何回繰り返すのかを正確に知っておく必要があります（例: コインを10回投げる）。この回数を\(n\)と呼びます。 2. 独立性と一定の確率: 各試行は互いに独立でなければなりません。これは、あるコイン投げの結果が次のコイン投げに影響しないということです。また、成功確率\(p\)はすべての試行で同じでなければなりません。

公平なコイン（\(p=0.5\)）を3回投げる（\(n=3\)）と想像してみましょう。ちょうど2回表（成功）が出る確率はどれくらいでしょうか。

これが起こる場合は3通りあります。 1. 表、表、裏（HHT） 2. 表、裏、表（HTH） 3. 裏、表、表（THH）

これら特定の並びのどれか1つが起こる確率は、次のとおりです。 \(P(\text{HHT}) = 0.5 \times 0.5 \times (1-0.5) = 0.125\) 3つの並びはすべて同じ確率なので、ちょうど2回表が出る確率の合計は次のようになります。 \(3 \times 0.125 = 0.375\)

二項分布の一般的な公式は次のとおりです。 \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

ここで\(X\)は成功回数を表す確率変数、\(k\)は私たちが関心を持つ具体的な成功回数（例: 表2回）です。\(\binom{n}{k}\)（「n個からk個を選ぶ」と読みます）という項は組み合わせの数で、\(n\)回の試行の中で\(k\)回成功する並び方が何通りあるかを教えてくれます。

期待値と分散

二項分布の平均と分散は、とても直感的です。 - 期待値（平均）: \(E[X] = np\) これは理にかなっています。公平なコインを100回投げれば、表は\(100 \times 0.5 = 50\)回出ると見込めます。 - 分散: \(V[X] = np(1-p)\) 分散は分布の散らばりを測ります。\(p=0.5\)のとき（不確実性が最大のとき）に最も大きくなり、\(p\)が0または1に近いときに最も小さくなります。

二項分布は、品質管理・金融・社会科学など多くの分野で基本的な道具となっています。繰り返される単純な「はい・いいえ」の事象の上に成り立つ状況を、モデル化し理解できるようにしてくれるからです。