統計で英語多読 3-4: 確率変数と確率分布 — 期待値と分散の計算

「大人のための英語多読図書館」へようこそ。今回は、試行の結果を数値で表す「確率変数」と「確率分布」を導入し、その平均（期待値）とばらつき（分散）を計算する方法を、英語の文章でたどっていきます。

📊 このユニットの情報 語数: 約1050語 / 推定読了時間: 7〜11分 / 難易度: ★★☆☆☆(初中級)

Learning Objectives

みなさんこんにちは。大人のための英語多読図書館へようこそ。

前回までは、「サイコロで1の目が出る」や「コインで表が出る」といった、一つひとつの事象 (event) の確率について学んできました。

今回は、その考え方を一歩進めて、「確率変数 (Probability Variable)」という非常に重要な概念を導入します。

難しく聞こえるかもしれませんが、考え方はシンプルです。例えば、サイコロを1回振るという「試行」を考えます。このとき、出る「目」は1, 2, 3, 4, 5, 6のどれかです。この「実際に出る目の数」を、記号 \(X\) で表したとします。この \(X\) が確率変数です。

\(X\) は、試行の結果によって「1」になったり「6」になったり、値が変わります。そして、私たちは「\(X\) が1になる確率は1/6」「\(X\) が2になる確率は1/6」...というように、 \(X\) が取るそれぞれの値と、その値を取る確率をすべて知っています。

この「\(X\) が取る可能性のある値と、その確率の対応関係」の全体像を「確率分布 (Probability Distribution)」と呼びます。

この分布がわかると、私たちは「平均して、 \(X\) はだいたいいくつの値になるのか？」という予測（期待値）や、「その予測の周りに、どれくらい値がバラつくのか？」（分散）を計算で求めることができるようになります。

それでは今回も多読を楽しんでいきましょう。

Summary

• A random variable (e.g., \(X\)) is a variable whose value represents the numerical outcome of a random event.
• There are two main types:
  • Discrete random variables have countable values (e.g., number of heads in 3 coin flips: 0, 1, 2, 3).
  • Continuous random variables can take any value within a range (e.g., a person's height).
• A probability distribution describes the probability of all possible values of a random variable.
  • For discrete variables, this is a Probability Mass Function (PMF), \(P(X=x)\).
  • For continuous variables, this is a Probability Density Function (PDF), where the area under the curve represents probability.
• The Expected Value (\(E[X]\)), or mean (\(\mu\)), is the long-run average of the random variable. It is calculated as a weighted average of all possible values, weighted by their probabilities.
• The Variance (\(V[X]\)), or \(\sigma^2\), measures the spread of the distribution. It is the expected value of the squared deviations from the mean.
• For a linear transformation \(Y = aX + b\):
  • \(E[Y] = aE[X] + b\) (The mean shifts and scales).
  • \(V[Y] = a^2V[X]\) (The variance only scales, and by the square of \(a\)).

Explanation

1. What is a Random Variable?

In statistics, we are often interested in the numerical results of random events. A random variable, usually written with a capital letter like \(X\), is a formal way to describe this. It is a variable whose value is determined by the outcome of a random phenomenon.

Think of \(X\) as a box. Before an experiment, we don't know what number is inside. After the experiment, the box contains a specific number.

• Experiment: Flip one coin.

  • Outcomes: Heads, Tails.
  • Random Variable \(X\): Let \(X=1\) if the outcome is Heads, and \(X=0\) if the outcome is Tails.

• Experiment: Roll one die.

  • Outcomes: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • Random Variable \(Y\): The number that appears on top (e.g., \(Y=4\)).

2. Discrete vs. Continuous Random Variables

Random variables come in two main types:

A) Discrete Random Variables These variables have countable values. There are "gaps" between the possible numbers. - The number of heads in 3 coin flips (\(X\) can be 0, 1, 2, or 3). - The number of customers who enter a store in one hour (\(X\) can be 0, 1, 2, 3, ...). - The result of a die roll (\(X\) can be 1, 2, 3, 4, 5, or 6).

For discrete variables, we use a Probability Mass Function (PMF) to describe their distribution. This is a function that gives the probability for each specific value. We write it as \(P(X=x)\).

For a fair die: - \(P(X=1) = 1/6\) - \(P(X=2) = 1/6\) - ...and so on.

A valid PMF must follow two rules: 1) The probability for every value must be \(0 \le P(X=x) \le 1\), and 2) The sum of all probabilities must be exactly 1.

B) Continuous Random Variables These variables can take any value within a given range. They are measured, not counted. - The height of a person (e.g., \(X\) could be 170.5 cm, 170.51 cm, 170.512 cm...). - The time it takes for a bus to arrive (e.g., \(T\) could be any value between 0 and 10 minutes). - The temperature tomorrow.

For continuous variables, we use a Probability Density Function (PDF). This is a bit more complex. The probability of any single exact value (e.g., \(P(\text{Height} = 170.000... \text{ cm})\)) is zero, because there are infinite possibilities.

Instead, we find the probability within a range (e.g., \(P(170 \le X \le 171)\)) by calculating the area under the curve of the PDF. The total area under the entire PDF curve must be exactly 1.

We will study famous distributions like the Normal Distribution (a PDF) later. For now, we will focus on discrete variables to understand expected value and variance.

3. Expected Value (E[X]): The Long-Run Average

The expected value of a random variable \(X\), written as \(E[X]\), is its long-run average. It is also called the mean of the distribution, denoted by \(\mu\) (mu).

It is a weighted average, where each possible value \(x\) is weighted by its probability \(P(X=x)\).

The formula for a discrete random variable is: \[E[X] = \mu = \sum [x \cdot P(X=x)]\] This means "multiply each value by its probability, then add them all up."

Example: Expected Value of a Fair Die Roll \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), and \(P(X=x) = 1/6\) for all \(x\).

\(E[X] = (1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times \frac{1}{6}) + (5 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{6})\) \(E[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5\)

Interpretation: This does not mean we expect to roll a 3.5 (which is impossible). It means that if you roll the die thousands of times and calculate the average of all your rolls, that average will get very, very close to 3.5.

4. Variance (V[X]): The Measure of Spread

The variance of \(X\), written as \(V[X]\) or \(\sigma^2\) (sigma-squared), measures how spread out the distribution is. A low variance means the outcomes are usually very close to the mean (\(E[X]\)). A high variance means the outcomes are often far from the mean.

Variance is defined as the expected value (average) of the squared difference from the mean.

The formula for a discrete random variable is: \[V[X] = \sigma^2 = E[(X-\mu)^2] = \sum [(x - \mu)^2 \cdot P(X=x)]\]

Example: Variance of a Fair Die Roll We know \(\mu = 3.5\).

\(V[X] = (1-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (3-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (4-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (5-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (6-3.5)^2 \times \frac{1}{6}\) \(V[X] = [(-2.5)^2 + (-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2 + (2.5)^2] \times \frac{1}{6}\) \(V[X] = [6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25] \times \frac{1}{6}\) \(V[X] = \frac{17.5}{6} \approx 2.917\)

The standard deviation (\(\sigma\)) is simply the square root of the variance: \(\sigma = \sqrt{V[X]} = \sqrt{2.917} \approx 1.708\). This is in the same unit as \(X\) (e.g., "3.5 rolls \(\pm\) 1.708").

5. Linear Transformations (aX + b)

This is a very practical tool. What happens if we create a new random variable \(Y\) by multiplying \(X\) by a constant \(a\) and adding a constant \(b\)? Let \(Y = aX + b\).

• Example: You run a game with the fair die (\(X\)). You win $10 for every point shown (\(a=10\)), but you must pay $20 to play (\(b = -20\)).
• Your profit is \(Y = 10X - 20\).
• What is your expected profit \(E[Y]\)? What is its variance \(V[Y]\)?

We can use two simple rules:

1. Rule for Expected Value: \[E[Y] = E[aX + b] = a \cdot E[X] + b\] The mean is scaled by \(a\) and shifted by \(b\).

• Our example: \(E[X] = 3.5\).
• \(E[Y] = 10 \cdot E[X] - 20 = 10 \cdot (3.5) - 20 = 35 - 20 = 15\).
• Your expected profit is $15 per game.

2. Rule for Variance: \[V[Y] = V[aX + b] = a^2 \cdot V[X]\] - Adding \(b\) only shifts the distribution; it does not change its spread. So, \(b\) disappears from the variance formula. - Multiplying by \(a\) scales the spread. Because variance is in squared units, it is scaled by \(a^2\).

• Our example: \(V[X] \approx 2.917\).
• \(V[Y] = 10^2 \cdot V[X] = 100 \cdot (2.917) = 291.7\).
• The standard deviation of your profit is \(\sigma_Y = \sqrt{291.7} \approx \$17.08\). This tells you that while your average profit is $15, the results are highly variable.

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まとめ

今回は、試行の結果を数値で表す確率変数と、その値と確率の対応関係である確率分布を学びました。確率変数には数えられる値をとる離散型と、範囲内の任意の値をとる連続型があり、それぞれPMFとPDFで表されることを押さえました。さらに、分布の平均である期待値 \(E[X] = \mu = \sum [x \cdot P(X=x)]\) と、ばらつきを表す分散 \(V[X] = \sigma^2 = \sum [(x - \mu)^2 \cdot P(X=x)]\) をサイコロの例で計算し、一次変換 \(Y = aX + b\) では \(E[Y] = aE[X] + b\)、\(V[Y] = a^2V[X]\) となることまで確かめました。

次回は、いよいよ具体的な分布として、離散型分布の二項分布とベルヌーイ分布について見ていきます。

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日本語訳(全文)

英文を最後まで読み終えてから、答え合わせ用にお使いください。多読の原則として、まずは訳を見ずに英文だけで理解を試みることをおすすめします。

Summary

• 確率変数（random variable）（例: \(X\)）とは、その値がランダムな事象の数値的な結果を表す変数のことです。
• 主に2つの種類があります。
  • 離散型確率変数（Discrete random variables）は、数えられる値をとります（例: コインを3回投げたときの表の回数: 0, 1, 2, 3）。
  • 連続型確率変数（Continuous random variables）は、ある範囲内の任意の値をとることができます（例: 人の身長）。
• 確率分布（probability distribution）は、確率変数のとりうるすべての値の確率を記述します。
  • 離散型変数では、これは確率質量関数（Probability Mass Function, PMF） \(P(X=x)\) です。
  • 連続型変数では、これは確率密度関数（Probability Density Function, PDF）で、ここでは曲線の下の面積が確率を表します。
• 期待値（\(E[X]\)）、すなわち平均（\(\mu\)）は、確率変数の長期的な平均です。とりうるすべての値を、その確率で重み付けした加重平均として計算されます。
• 分散（\(V[X]\)）、すなわち \(\sigma^2\) は、分布の広がりを測ります。これは平均からの偏差の2乗の期待値です。
• 一次変換（linear transformation） \(Y = aX + b\) については、
  • \(E[Y] = aE[X] + b\)（平均は平行移動し、かつ拡大・縮小される）。
  • \(V[Y] = a^2V[X]\)（分散は拡大・縮小されるだけで、しかも \(a\) の2乗で変化する）。

1. 確率変数とは何か

統計学では、私たちはしばしばランダムな事象の数値的な結果に関心を持ちます。 確率変数（random variable）は、通常 \(X\) のような大文字で書かれ、これを形式的に記述する方法です。それは、その値がランダムな現象の結果によって決まる変数です。

\(X\) を箱のようなものだと考えてください。実験の前には、中にどんな数が入っているかわかりません。実験のあとには、その箱には特定の数が入っています。

• 試行: コインを1枚投げる。

  • 結果: 表、裏。
  • 確率変数 \(X\): 結果が表なら \(X=1\)、結果が裏なら \(X=0\) とします。

• 試行: サイコロを1個振る。

  • 結果: 1, 2, 3, 4, 5, 6。
  • 確率変数 \(Y\): 上面に出る数（例: \(Y=4\)）。

2. 離散型 対 連続型の確率変数

確率変数には主に2つの種類があります。

A) 離散型確率変数 これらの変数は数えられる値をとります。とりうる数のあいだには「すき間」があります。 - コインを3回投げたときの表の回数（\(X\) は0, 1, 2, 3のいずれか）。 - 1時間にお店に入ってくる客の数（\(X\) は0, 1, 2, 3, ...のいずれか）。 - サイコロを振った結果（\(X\) は1, 2, 3, 4, 5, 6のいずれか）。

離散型変数では、その分布を記述するために確率質量関数（Probability Mass Function, PMF）を使います。これは、それぞれの特定の値に対して確率を与える関数です。\(P(X=x)\) と書きます。

公平なサイコロでは、 - \(P(X=1) = 1/6\) - \(P(X=2) = 1/6\) - ...というように続きます。

正しいPMFは、2つのルールに従わなければなりません。1) すべての値に対する確率が \(0 \le P(X=x) \le 1\) であること、そして 2) すべての確率の和がちょうど1であること。

B) 連続型確率変数 これらの変数は、ある与えられた範囲内の任意の値をとることができます。これらは数えるのではなく、測定されます。 - 人の身長（例: \(X\) は170.5 cm、170.51 cm、170.512 cm...などになりうる）。 - バスが到着するまでの時間（例: \(T\) は0分から10分のあいだの任意の値になりうる）。 - 明日の気温。

連続型変数では、確率密度関数（Probability Density Function, PDF）を使います。これは少し複雑です。ある単一の正確な値（例: \(P(\text{Height} = 170.000... \text{ cm})\)）の確率はゼロです。なぜなら、無限の可能性があるからです。

そのかわりに、私たちは範囲内の確率（例: \(P(170 \le X \le 171)\)）を、PDFの曲線の下の面積を計算することで求めます。PDF曲線全体の下の面積の合計は、ちょうど1でなければなりません。

正規分布（PDFの一種）のような有名な分布は、あとで学びます。いまのところは、期待値と分散を理解するために、離散型変数に焦点を当てます。

3. 期待値（E[X]）: 長期的な平均

確率変数 \(X\) の期待値（expected value）は、\(E[X]\) と書かれ、その長期的な平均です。分布の平均とも呼ばれ、\(\mu\)（ミュー）で表されます。

これは加重平均（weighted average）で、とりうるそれぞれの値 \(x\) が、その確率 \(P(X=x)\) によって重み付けされます。

離散型確率変数の公式は次のとおりです。 \[E[X] = \mu = \sum [x \cdot P(X=x)]\] これは「それぞれの値にその確率を掛けて、それらをすべて足し合わせる」という意味です。

例: 公平なサイコロを振ったときの期待値 \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) で、すべての \(x\) について \(P(X=x) = 1/6\) です。

\(E[X] = (1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times \frac{1}{6}) + (5 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{6})\) \(E[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5\)

解釈: これは、私たちが3.5を出すことを期待している（それは不可能です）という意味ではありません。サイコロを何千回も振って、すべての出目の平均を計算すれば、その平均が3.5に非常に近づいていく、という意味です。

4. 分散（V[X]）: 広がりの尺度

\(X\) の分散（variance）は、\(V[X]\) または \(\sigma^2\)（シグマ2乗）と書かれ、分布がどれだけ広がっているかを測ります。分散が小さいということは、結果がたいてい平均（\(E[X]\)）に非常に近いことを意味します。分散が大きいということは、結果がしばしば平均から遠いことを意味します。

分散は、平均からの差の2乗の期待値（平均）として定義されます。

離散型確率変数の公式は次のとおりです。 \[V[X] = \sigma^2 = E[(X-\mu)^2] = \sum [(x - \mu)^2 \cdot P(X=x)]\]

例: 公平なサイコロを振ったときの分散 私たちは \(\mu = 3.5\) であることを知っています。

\(V[X] = (1-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (2-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (3-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (4-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (5-3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (6-3.5)^2 \times \frac{1}{6}\) \(V[X] = [(-2.5)^2 + (-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2 + (2.5)^2] \times \frac{1}{6}\) \(V[X] = [6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25] \times \frac{1}{6}\) \(V[X] = \frac{17.5}{6} \approx 2.917\)

標準偏差（standard deviation）（\(\sigma\)）は、単純に分散の平方根です。 \(\sigma = \sqrt{V[X]} = \sqrt{2.917} \approx 1.708\)。これは \(X\) と同じ単位で表されます（例: 「3.5回 \(\pm\) 1.708」）。

5. 一次変換（aX + b）

これは非常に実用的な道具です。\(X\) を定数 \(a\) で掛け、定数 \(b\) を足して新しい確率変数 \(Y\) を作ると、何が起こるでしょうか。 \(Y = aX + b\) とします。

• 例: あなたは公平なサイコロ（\(X\)）を使ったゲームを運営します。出た目1点ごとに$10をもらえますが（\(a=10\)）、プレイするためには$20を支払わなければなりません（\(b = -20\)）。
• あなたの利益は \(Y = 10X - 20\) です。
• あなたの期待される利益 \(E[Y]\) はいくらでしょうか。その分散 \(V[Y]\) はいくらでしょうか。

2つのシンプルなルールを使えます。

1. 期待値のルール: \[E[Y] = E[aX + b] = a \cdot E[X] + b\] 平均は \(a\) で拡大・縮小され、\(b\) だけ平行移動します。

• 私たちの例: \(E[X] = 3.5\)。
• \(E[Y] = 10 \cdot E[X] - 20 = 10 \cdot (3.5) - 20 = 35 - 20 = 15\)。
• あなたの期待される利益は1ゲームあたり$15です。

2. 分散のルール: \[V[Y] = V[aX + b] = a^2 \cdot V[X]\] - \(b\) を足すことは、分布を平行移動させるだけで、その広がりは変えません。ですから、\(b\) は分散の公式から消えます。 - \(a\) を掛けることは、広がりを拡大・縮小します。分散は2乗の単位で表されるため、\(a^2\) で拡大・縮小されます。

• 私たちの例: \(V[X] \approx 2.917\)。
• \(V[Y] = 10^2 \cdot V[X] = 100 \cdot (2.917) = 291.7\)。
• あなたの利益の標準偏差は \(\sigma_Y = \sqrt{291.7} \approx \$17.08\) です。これは、あなたの平均的な利益が$15である一方で、結果が非常に変動しやすいことを教えてくれます。