Odds and Ends

英語多読

ファイナンスで英語多読 7-5: プロジェクトの寿命が違う場合 — どちらを選ぶべきか

寿命の異なるプロジェクト比較を題材にした英語多読ユニット。約750語の英文と全文日本語訳で、置換連鎖法と等価年間金法（EAA）を読みます。

ストック

英語多読 ファイナンス

「大人のための英語多読図書館」へようこそ。今回は、寿命の異なる2つのプロジェクトを公平に比べる方法、置換連鎖法と等価年間金法を、英語の文章でたどっていきます。

📊 このユニットの情報 語数: 約750語 / 推定読了時間: 5〜8分 / 難易度: ★★☆☆☆(初中級)

Learning Objectives

みなさんこんにちは。大人のための英語多読図書館へようこそ。

あなたは今、2台の中古車のどちらを買うか迷っているとします。一台は安価ですが3年しか乗れそうにありません。もう一台は少し高価ですが、6年は持つでしょう。この2台、どうやって比べますか?単純な購入価格だけで決めるのは、なんだか不公平な感じがしますよね。

企業の設備投資の意思決定もこれと似ています。2つのプロジェクトがあり、両方に投資することはできない(相互排他的な)状況で、それぞれの寿命が異なるとき、単純にNPV(正味現在価値)を比較するだけでは正しい判断ができません。

今回は、このように寿命が異なるプロジェクトを公平に比較するための2つのテクニック、「置換連鎖法(Replacement Chain Approach)」と「等価年間金法(Equivalent Annual Annuity Approach)」について学んでいきます。

それでは今回も多読を楽しんでいきましょう。

Summary

  • The Problem: Directly comparing the NPVs of mutually exclusive projects with unequal lives is misleading. It unfairly favors the longer-lived project by ignoring the potential to reinvest after the shorter project ends.
  • The Replacement Chain Approach: This method equalizes the projects' lives by finding a common time horizon (a common multiple of their lives). It then calculates the total NPV of the "chain" of replacements for the shorter project over this common life.
  • The Equivalent Annual Annuity (EAA) Approach: A more versatile method that converts each project's NPV into an equivalent annual cash flow, or "annuity." It essentially calculates the project's average annual value in today's dollars.
  • The Decision Rule: For mutually exclusive projects with unequal lives, you should choose the project with the higher EAA, as it provides more value per year.

Explanation

The "Apples-to-Oranges" Problem

Imagine a company must choose between two mutually exclusive projects, Machine A and Machine B.

  • Machine A: Costs $50,000, has a life of 3 years, and its cash flows result in an NPV of $10,500.
  • Machine B: Costs $80,000, has a life of 6 years, and its cash flows result in an NPV of $16,000.

At first glance, Machine B seems better because its NPV is higher. However, this is a classic "apples-to-oranges" comparison. The NPV of Machine A only captures its value over 3 years. This comparison completely ignores what the company would do in years 4, 5, and 6. After Machine A wears out, the company could buy another Machine A (or a similar machine) and continue generating value.

To make a fair comparison, we need to put both projects on a level playing field. We can do this in two ways.

Method 1: The Replacement Chain (Common Life) Approach

The most intuitive way to solve this problem is to find a common time horizon. The least common multiple of the two project lives (3 years and 6 years) is 6 years.

So, we can compare the 6-year Machine B to a "chain" of two consecutive 3-year Machine A projects.

We assume that at the end of Year 3, we will replace the first Machine A with an identical second one. The NPV of this 6-year chain for Machine A would be:

NPV (A Chain) = NPV of the first Machine A + NPV of the second Machine A (discounted back to today)

Let's assume a discount rate of 12%. The NPV of the second Machine A is $10,500, but it only begins 3 years from now. So we must discount its NPV back to Year 0.

NPV (A Chain) = $10,500 + ($10,500 / (1 + 0.12)³) NPV (A Chain) = $10,500 + ($10,500 / 1.405) NPV (A Chain) = $10,500 + $7,473 = $17,973

Now we can make a fair comparison:

  • NPV (A Chain, 6 years): $17,973
  • NPV (B, 6 years): $16,000

The analysis shows that pursuing Machine A and replacing it once is more valuable than choosing Machine B.

This method works well, but it can get very complicated if the project lives are, for example, 7 years and 9 years (requiring a 63-year chain!).

Method 2: The Equivalent Annual Annuity (EAA) Approach

A more elegant and widely used method is the Equivalent Annual Annuity (EAA). This approach converts each project's one-time NPV into a stream of equal annual cash flows.

Think of it this way: "What is the annual 'salary' this project would pay me over its life that is equivalent to its NPV?"

The process is straightforward:

  1. Calculate each project's NPV. (We already have this).
  2. For each project, find the annuity payment (the EAA) that has the same present value as its NPV over its specific life.

We use the present value of an annuity formula and solve for the payment (EAA):

EAA = NPV / Annuity Factor where the Annuity Factor is [1 – (1 + r)⁻ⁿ] / r

Let's calculate the EAA for each machine using our 12% discount rate:

For Machine A (NPV = $10,500; n = 3; r = 12%): The annuity factor for 3 years at 12% is 2.4018.

EAA (A) = $10,500 / 2.4018 = $4,372

For Machine B (NPV = $16,000; n = 6; r = 12%): The annuity factor for 6 years at 12% is 4.1114.

EAA (B) = $16,000 / 4.1114 = $3,892

The EAA tells us that Machine A provides an equivalent of $4,372 in value each year for 3 years, while Machine B provides only $3,892 per year for 6 years. Since we can reinvest in Machine A (or a similar project) after 3 years, the higher annual value it generates makes it the superior choice.

The decision is simple: choose the project with the higher EAA. Both methods lead to the same conclusion: Machine A is the better investment.

まとめ

寿命の異なる相互排他的なプロジェクトを比べるとき、NPVをそのまま並べると寿命の長いほうが不当に有利になってしまいます。今回はこれを公平にそろえる2つの方法、共通の期間でつなぐ「置換連鎖法」と、NPVを毎年の均等なキャッシュフローに換算する「等価年間金法(EAA)」を見てきました。どちらの方法でも結論は同じで、EAAの高いプロジェクトを選べばよい、というのが意思決定のルールです。

次回は、投資に使える資金が限られている状況で、どのプロジェクトの組み合わせを選べば価値を最大化できるのかについて見ていきます。

日本語訳(全文)

英文を最後まで読み終えてから、答え合わせ用にお使いください。多読の原則として、まずは訳を見ずに英文だけで理解を試みることをおすすめします。

Summary

  • 問題点: 寿命の異なる相互排他的なプロジェクトのNPVを直接比較するのは、誤解を招きます。短いほうのプロジェクトが終わったあとに再投資できる可能性を無視することで、寿命の長いプロジェクトを不当に有利にしてしまうからです。
  • 置換連鎖法: この方法は、共通の時間軸(各プロジェクトの寿命の公倍数)を見つけることで、プロジェクトの寿命をそろえます。そのうえで、短いほうのプロジェクトをこの共通の寿命にわたって繰り返し置き換えていく「連鎖(チェーン)」の総NPVを計算します。
  • 等価年間金法(EAA): より汎用的な方法で、各プロジェクトのNPVを、同等の年間キャッシュフロー、すなわち「年金(アニュイティ)」に変換します。要するに、そのプロジェクトの平均的な年間価値を今日の貨幣価値で算出するものです。
  • 意思決定のルール: 寿命の異なる相互排他的なプロジェクトでは、1年あたりの価値がより大きい、EAAの高いプロジェクトを選ぶべきです。

「リンゴとオレンジ」問題

ある会社が、相互排他的な2つのプロジェクト、機械Aと機械Bのどちらかを選ばなければならないとしましょう。

  • 機械A: コストは50,000ドル、寿命は3年で、そのキャッシュフローから得られるNPVは10,500ドルです。
  • 機械B: コストは80,000ドル、寿命は6年で、そのキャッシュフローから得られるNPVは16,000ドルです。

一見すると、NPVが高いので機械Bのほうが良さそうに見えます。しかし、これは典型的な「リンゴとオレンジ」を比べるような話です。機械AのNPVは、その3年間の価値しか捉えていません。この比較では、会社が4年目・5年目・6年目に何をするのかが完全に無視されています。機械Aが寿命を迎えたあと、会社はもう一台の機械A(あるいは類似の機械)を買って、価値を生み出し続けることができるのです。

公平に比較するには、両方のプロジェクトを同じ土俵に乗せる必要があります。これには2つの方法があります。

方法1: 置換連鎖法(共通寿命法)

この問題を解くもっとも直感的な方法は、共通の時間軸を見つけることです。2つのプロジェクトの寿命(3年と6年)の最小公倍数は6年です。

ですから、6年の機械Bを、3年の機械Aを2回連続でつないだ「連鎖(チェーン)」と比較することができます。

3年目の終わりに、1台目の機械Aを同一の2台目に置き換えると仮定します。この6年間にわたる機械Aの連鎖のNPVは、次のようになります。

NPV(Aの連鎖) = 1台目の機械AのNPV + 2台目の機械AのNPV(今日の時点まで割り引いたもの)

割引率を12%と仮定しましょう。2台目の機械AのNPVは10,500ドルですが、それが始まるのは今から3年後です。そのため、そのNPVを0年目まで割り引かなければなりません。

NPV(Aの連鎖) = $10,500 + ($10,500 / (1 + 0.12)³) NPV(Aの連鎖) = $10,500 + ($10,500 / 1.405) NPV(Aの連鎖) = $10,500 + $7,473 = $17,973

これで、公平な比較ができます。

  • NPV(Aの連鎖、6年): $17,973
  • NPV(B、6年): $16,000

この分析からわかるのは、機械Aを選んで一度置き換えるほうが、機械Bを選ぶよりも価値が高いということです。

この方法はうまく機能しますが、たとえばプロジェクトの寿命が7年と9年の場合(63年の連鎖が必要になります!)など、とても複雑になることがあります。

方法2: 等価年間金法(EAA)

より洗練され、広く使われている方法が、等価年間金法(EAA)です。このアプローチは、各プロジェクトの一度きりのNPVを、均等な年間キャッシュフローの流れに変換します。

こう考えてみてください。「このプロジェクトが、その寿命にわたって私に支払ってくれる、NPVと同等の年間の『給料』はいくらだろう?」

手順はシンプルです。

  1. 各プロジェクトのNPVを計算する。(これはすでに手元にあります)
  2. 各プロジェクトについて、その固有の寿命にわたってNPVと同じ現在価値を持つ年金支払額(EAA)を求める。

年金の現在価値の公式を使い、支払額(EAA)について解きます。

EAA = NPV / 年金係数 ここで年金係数は [1 – (1 + r)⁻ⁿ] / r

12%の割引率を使って、各機械のEAAを計算してみましょう。

機械Aの場合(NPV = $10,500; n = 3; r = 12%): 12%で3年間の年金係数は2.4018です。

EAA(A) = $10,500 / 2.4018 = $4,372

機械Bの場合(NPV = $16,000; n = 6; r = 12%): 12%で6年間の年金係数は4.1114です。

EAA(B) = $16,000 / 4.1114 = $3,892

EAAが教えてくれるのは、機械Aが3年間にわたって毎年4,372ドルに相当する価値をもたらすのに対し、機械Bは6年間にわたって毎年3,892ドルしかもたらさない、ということです。3年後に機械A(あるいは類似のプロジェクト)へ再投資できることを考えると、機械Aが生み出すより高い年間価値が、それを優れた選択肢にしているのです。

意思決定はシンプルです。EAAの高いプロジェクトを選びましょう。どちらの方法も同じ結論にたどり着きます。機械Aのほうが優れた投資なのです。