Odds and Ends

英語多読

統計で英語多読 4-5: 標準正規分布 — Z表を使った確率計算マスター

標準正規分布を題材にした英語多読ユニット。約620語の英文と全文日本語訳で、標準化とZ表を使った確率計算の手順をたどります。

ストック

英語多読 統計

「大人のための英語多読図書館」へようこそ。今回は、どんな正規分布も平均0・標準偏差1の標準正規分布に変換する「標準化」と、ZスコアやZ表を使った確率計算の方法を、英語の文章でたどっていきます。

📊 このユニットの情報 語数: 約620語 / 推定読了時間: 5〜7分 / 難易度: ★★☆☆☆(初中級)

Learning Objectives

みなさんこんにちは。大人のための英語多読図書館へようこそ。

前回、正規分布には平均 (\(\mu\)) と標準偏差 (\(\sigma\)) によって無数のバリエーションがあることを学びました。では、平均170cm・標準偏差5cmの身長の分布と、平均65kg・標準偏差10kgの体重の分布を、どうやって同じ土俵で比較すればよいのでしょうか？

その答えが「標準化」です。どんな正規分布も、ある計算をすることで、平均が0、標準偏差が1のたった一つの「標準正規分布」に変換することができるのです。

この変換によって得られる「Zスコア」と、確率が一覧になった「Z表」の使い方をマスターすれば、どんな正規分布でも特定の範囲に入る確率を簡単に計算できるようになります。日本のテストでよく使われる「偏差値」も、実はこのZスコアから作られているんですよ。

それでは今回も多読を楽しんでいきましょう。

Summary

  • The Problem: Normal distributions come in many shapes and sizes (different means and standard deviations), making them difficult to compare directly.
  • The Solution: Standardization: We can convert any normal distribution into the Standard Normal Distribution, which has a mean of 0 and a standard deviation of 1.
  • Z-score: This conversion is done by calculating a Z-score using the formula: \(Z = (X - \mu) / \sigma\). The Z-score tells us how many standard deviations a value \(X\) is from the mean \(\mu\).
  • Z-table: A standard normal table (Z-table) gives the cumulative probability for a given Z-score (the area under the curve to the left of Z). This allows us to find probabilities for any normal distribution.

Explanation

The Need for a Standard

In the previous lesson, we learned that normal distributions are defined by their mean (\(\mu\)) and standard deviation (\(\sigma\)). This means there are infinitely many different normal distributions. For example, the distribution of men's heights in Japan (e.g., \(\mu=171, \sigma=6\)) and the distribution of scores on a test (e.g., \(\mu=500, \sigma=100\)) are both normal, but they have different scales.

How can we calculate probabilities or compare values from these different distributions? It would be impossible to have a probability table for every possible combination of \(\mu\) and \(\sigma\). The solution is to transform any normal distribution into a single, universal one: the Standard Normal Distribution.

The Standard Normal Distribution is a special case of the normal distribution where the mean is 0 and the standard deviation is 1.

The Magic Formula: The Z-score

The process of converting a value from any normal distribution to the standard normal distribution is called standardization. We do this by calculating a Z-score.

The formula for the Z-score is: \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

Let's break down what this formula means: - \(X\): The original data point you are interested in. - \(\mu\): The mean of the original distribution. - \(\sigma\): The standard deviation of the original distribution.

The Z-score tells you exactly how many standard deviations a value \(X\) is away from the mean. - A positive Z-score means the value is above the mean. - A negative Z-score means the value is below the mean. - A Z-score of 0 means the value is exactly the mean.

For example, if IQ scores have \(\mu=100\) and \(\sigma=15\), an IQ of 130 would have a Z-score of: \(Z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2\) This tells us that an IQ of 130 is exactly 2 standard deviations above the mean.

Using the Z-table to Find Probabilities

The real power of standardization comes from using the Standard Normal Table, often called the Z-table. This table lists the cumulative probabilities for a wide range of Z-scores. The probability it shows is the area under the curve to the left of that Z-score, which is \(P(Z < z)\).

Here's how to use it to find the probability of a value being less than a certain point: 1. State the problem: For a distribution with \(\mu\) and \(\sigma\), you want to find \(P(X < x)\). 2. Standardize \(x\): Calculate the Z-score: \(z = (x - \mu) / \sigma\). 3. Look up in the Z-table: Find the Z-score in the table and read the corresponding probability.

What if you want to find the probability of being greater than a value (\(P(X > x)\)) or between two values (\(P(x_1 < X < x_2)\))? - Greater than: Since the total area is 1, \(P(Z > z) = 1 - P(Z < z)\). You find the probability for \(z\) in the table and subtract it from 1. - Between two values: You find the probabilities for both Z-scores (\(z_1\) and \(z_2\)) and subtract the smaller from the larger: \(P(z_1 < Z < z_2) = P(Z < z_2) - P(Z < z_1)\).

By mastering standardization and the Z-table, you can unlock the ability to calculate probabilities for any scenario involving a normal distribution.

まとめ

今回は、無数にある正規分布を、平均0・標準偏差1のたった一つの「標準正規分布」に変換する「標準化」を学びました。\(Z = (X - \mu) / \sigma\) という式で求めるZスコアは、ある値が平均から何標準偏差ぶん離れているかを表します。そして、Zスコアごとの累積確率（左側の面積）が一覧になったZ表を使えば、「未満」「より大きい」「2値の間」といった、どんな範囲の確率でも計算できるようになることを見てきました。これで、あらゆる正規分布を同じ土俵で扱えます。

次回は、標本から母集団を推測する推測統計学を理論的に支える「大数の法則」と「中心極限定理」という2つの重要な定理を見ていきます。

日本語訳(全文)

英文を最後まで読み終えてから、答え合わせ用にお使いください。多読の原則として、まずは訳を見ずに英文だけで理解を試みることをおすすめします。

Summary

  • 問題: 正規分布はさまざまな形と大きさ（異なる平均と標準偏差）を持つため、直接比較することが難しくなっています。
  • 解決策: 標準化: どんな正規分布も、平均が0、標準偏差が1の標準正規分布に変換することができます。
  • Zスコア: この変換は、\(Z = (X - \mu) / \sigma\) という式を使ってZスコアを計算することで行います。Zスコアは、ある値 \(X\) が平均 \(\mu\) から何標準偏差ぶん離れているかを教えてくれます。
  • Z表: 標準正規分布表（Z表）は、あるZスコアに対する累積確率（Zより左側の曲線の下の面積）を与えてくれます。これにより、どんな正規分布についても確率を求めることができます。

標準が必要な理由

前回のレッスンで、正規分布はその平均（\(\mu\)）と標準偏差（\(\sigma\)）によって定義されることを学びました。これは、無数に異なる正規分布が存在することを意味します。たとえば、日本人男性の身長の分布（例: \(\mu=171, \sigma=6\)）と、あるテストのスコアの分布（例: \(\mu=500, \sigma=100\)）は、どちらも正規分布ですが、尺度（スケール）が異なります。

これら異なる分布から、どうやって確率を計算したり、値を比較したりすればよいのでしょうか。\(\mu\) と \(\sigma\) のあらゆる組み合わせについて確率表を用意するのは不可能です。その解決策が、どんな正規分布も、たった一つの普遍的な分布、すなわち標準正規分布に変換してしまうことです。

標準正規分布とは、平均が0、標準偏差が1である、正規分布の特別なケースです。

魔法の公式: Zスコア

どんな正規分布の値も、標準正規分布の値へと変換する手続きを標準化と呼びます。これはZスコアを計算することで行います。

Zスコアの式は次のとおりです。 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

この式が何を意味するのか、分解してみましょう。 - \(X\): あなたが関心を持っている、元のデータ点。 - \(\mu\): 元の分布の平均。 - \(\sigma\): 元の分布の標準偏差。

Zスコアは、ある値 \(X\) が平均から何標準偏差ぶん離れているかを、正確に教えてくれます。 - Zスコアが正であれば、その値は平均より上にあることを意味します。 - Zスコアが負であれば、その値は平均より下にあることを意味します。 - Zスコアが0であれば、その値はちょうど平均であることを意味します。

たとえば、IQスコアが \(\mu=100\)、\(\sigma=15\) のとき、IQ 130 のZスコアは次のようになります。 \(Z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2\) これは、IQ 130 がちょうど平均より2標準偏差ぶん上にあることを示しています。

Z表を使って確率を求める

標準化の本当の力は、しばしばZ表と呼ばれる標準正規分布表を使うことで発揮されます。この表は、幅広い範囲のZスコアに対する累積確率を一覧にしたものです。表が示す確率は、そのZスコアの左側の曲線の下の面積、すなわち \(P(Z < z)\) です。

ある値が、ある一点より小さくなる確率を求めるための使い方は、次のとおりです。 1. 問題を整理する: 平均 \(\mu\)、標準偏差 \(\sigma\) の分布について、\(P(X < x)\) を求めたいとします。 2. \(x\) を標準化する: Zスコアを計算します。\(z = (x - \mu) / \sigma\)。 3. Z表で調べる: 表のなかからそのZスコアを見つけ、対応する確率を読み取ります。

では、ある値より大きくなる確率（\(P(X > x)\)）や、2つの値の間に入る確率（\(P(x_1 < X < x_2)\)）を求めたいときは、どうすればよいでしょうか。 - より大きい: 全体の面積は1なので、\(P(Z > z) = 1 - P(Z < z)\) です。表で \(z\) の確率を見つけ、それを1から引きます。 - 2つの値の間: 両方のZスコア（\(z_1\) と \(z_2\)）の確率を求め、小さいほうを大きいほうから引きます。\(P(z_1 < Z < z_2) = P(Z < z_2) - P(Z < z_1)\)。

標準化とZ表をマスターすれば、正規分布が関わるどんな場面でも確率を計算できる力を手に入れることができるのです。