Odds and Ends

英語多読

統計で英語多読 3-1: 事象と確率 — 確率の基本ルール（加法定理・乗法定理）

確率の基本ルールを題材にした英語多読ユニット。約690語の英文と全文日本語訳で、試行・事象の用語と加法定理・乗法定理をたどります。

ストック

英語多読 統計

「大人のための英語多読図書館」へようこそ。今回は、サイコロやトランプを例に、確率を考えるための基本用語と、複数の出来事をつなぐ「加法定理」「乗法定理」という2つのルールを、英語の文章でたどっていきます。

📊 このユニットの情報 語数: 約690語 / 推定読了時間: 5〜7分 / 難易度: ★★☆☆☆(初中級)

Learning Objectives

みなさんこんにちは。大人のための英語多読図書館へようこそ。

今回は、統計学の土台となる「確率」の世界に足を踏み入れます。天気予報で「降水確率50%」と言われたり、宝くじの当選確率を考えたり、私たちは日常的に確率を使っています。でも、「確率」って、ちゃんと考えようとすると意外と難しいですよね。

この記事では、確率を考える上での基本的な用語（事象って何？）から、複数の出来事が起こる確率を計算するための2つの重要なルール、「加法定理」と「乗法定理」までを学びます。サイコロやコイン、トランプといった身近な例を使って、確率の考え方の基礎を固めていきましょう。

それでは今回も多読を楽しんでいきましょう。

Summary

  • Basic Concepts: Probability measures the likelihood of an event. Key terms include Experiment (an action with an uncertain outcome), Sample Space (all possible outcomes), and Event (a specific outcome or a set of outcomes).
  • Probability Formula: The probability of an event A is calculated as \(P(A) = \frac{\text{Number of outcomes in A}}{\text{Total number of outcomes in the sample space}}\).
  • Addition Rule: Used to find the probability of event A or event B occurring. The formula is \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). If the events are mutually exclusive (cannot happen at the same time), it simplifies to \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
  • Multiplication Rule: Used to find the probability of event A and event B occurring. For independent events (one event does not affect the other), the formula is \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
  • Complementary Events: The probability of an event not happening is \(P(A^c) = 1 - P(A)\).

Explanation

Welcome to the World of Probability

Probability is a fundamental concept in statistics. It's the branch of mathematics that deals with uncertainty. We use it to measure how likely something is to happen. To talk about probability precisely, we need to understand a few key terms.

  • Experiment: An action or process whose outcome is uncertain. For example, rolling a die, flipping a coin, or picking a card from a deck.
  • Outcome: A single possible result of an experiment. For example, getting a '4' when rolling a die.
  • Sample Space (S): The set of all possible outcomes of an experiment. For a single die roll, the sample space is \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
  • Event (A, B, ...): A specific outcome or a set of outcomes you are interested in. For example, the event "getting an even number" is the set \(\{2, 4, 6\}\).

The probability of an event A, written as \(P(A)\), is a number between 0 and 1. \(P(A) = 0\) means the event is impossible, and \(P(A) = 1\) means the event is certain. For a fair die, the probability of rolling a 4 is:

\[P(\text{rolling a 4}) = \frac{1}{6}\]

Because there is one favorable outcome ('4') and six total possible outcomes.

The Addition Rule: The "OR" Probability

What if we want to find the probability of one event or another event happening? This is where the Addition Rule comes in.

Let's use a standard deck of 52 playing cards. What is the probability of drawing a King or a Heart?

We know that: - \(P(\text{King}) = \frac{4}{52}\) (there are 4 Kings) - \(P(\text{Heart}) = \frac{13}{52}\) (there are 13 Hearts)

If we simply add them, \(P(\text{King}) + P(\text{Heart}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} = \frac{17}{52}\). Is this correct?

Not quite. We've counted one card twice: the King of Hearts. This card is both a King and a Heart. The probability of drawing the King of Hearts, which is the intersection of the two events, is \(P(\text{King and Heart}) = \frac{1}{52}\).

The general Addition Rule corrects for this double-counting:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Here, \(A \cup B\) means "A or B" (union), and \(A \cap B\) means "A and B" (intersection).

So, for our example: \[P(\text{King or Heart}) = P(\text{King}) + P(\text{Heart}) - P(\text{King and Heart}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}\]

What if two events cannot happen at the same time? For example, rolling a 2 and a 3 on a single die roll. These are called mutually exclusive events. In this case, their intersection is empty, so \(P(A \cap B) = 0\). The rule becomes simpler: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

The Multiplication Rule: The "AND" Probability

Now, let's consider the probability of two events both happening. For this, we use the Multiplication Rule. The rule depends on whether the events are independent.

Independent events are events where the outcome of one does not affect the outcome of the other. For example, flipping a coin and rolling a die.

The Multiplication Rule for independent events is: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

What's the probability of flipping a coin and getting Heads, and rolling a die and getting a 6? - \(P(\text{Heads}) = \frac{1}{2}\) - \(P(\text{6}) = \frac{1}{6}\)

Since these events are independent, the probability of both happening is: \[P(\text{Heads and 6}) = P(\text{Heads}) \times P(\text{6}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\]

Understanding these two basic rules is the first step to mastering probability. They are the building blocks for many of the more complex statistical concepts we will explore later.

まとめ

今回は、確率を考えるための基本用語（試行・標本空間・事象）を押さえたうえで、2つの重要なルールを学びました。1つは「AまたはB」を求める加法定理 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) で、重複を引くのがポイントでした。もう1つは「AかつB」を求める乗法定理で、独立な事象なら \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\) とシンプルに掛け算できることを、サイコロやトランプの例で確かめました。

次回は、「ある情報が与えられたとき確率がどう変わるか」を扱う条件付き確率について見ていきます。

日本語訳(全文)

英文を最後まで読み終えてから、答え合わせ用にお使いください。多読の原則として、まずは訳を見ずに英文だけで理解を試みることをおすすめします。

Summary

  • 基本概念: 確率は、ある事象がどれくらい起こりやすいかを測るものです。重要な用語には、試行（Experiment）（結果が不確実な行為）、標本空間（Sample Space）（起こりうるすべての結果）、事象（Event）（注目している特定の結果、または結果の集まり）があります。
  • 確率の公式: 事象Aの確率は \(P(A) = \frac{\text{Number of outcomes in A}}{\text{Total number of outcomes in the sample space}}\) として計算されます。
  • 加法定理: 事象Aまたは事象Bが起こる確率を求めるために使います。公式は \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) です。2つの事象が互いに排反（mutually exclusive）（同時には起こりえない）の場合、これは \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) と簡単になります。
  • 乗法定理: 事象Aかつ事象Bが起こる確率を求めるために使います。独立な事象（independent events）（一方の事象がもう一方に影響しない）の場合、公式は \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\) です。
  • 余事象: ある事象が起こらない確率は \(P(A^c) = 1 - P(A)\) です。

確率の世界へようこそ

確率は統計学における基本的な概念です。それは不確実性を扱う数学の一分野です。私たちは確率を使って、何かがどれくらい起こりやすいかを測ります。確率について正確に語るためには、いくつかの重要な用語を理解しておく必要があります。

  • 試行（Experiment）: 結果が不確実な行為やプロセスのこと。たとえば、サイコロを振る、コインを投げる、デッキからカードを1枚引く、などです。
  • 結果（Outcome）: 試行のひとつの起こりうる結果のこと。たとえば、サイコロを振って「4」が出る、などです。
  • 標本空間（Sample Space, S）: ある試行で起こりうるすべての結果の集合のこと。サイコロを1回振る場合、標本空間は \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) です。
  • 事象（Event, A, B, ...）: あなたが注目している特定の結果、または結果の集まりのこと。たとえば、「偶数が出る」という事象は、集合 \(\{2, 4, 6\}\) です。

事象Aの確率は \(P(A)\) と書かれ、0から1のあいだの数になります。\(P(A) = 0\) はその事象が不可能であることを意味し、\(P(A) = 1\) はその事象が確実であることを意味します。公平なサイコロでは、4が出る確率は次のようになります。

\[P(\text{rolling a 4}) = \frac{1}{6}\]

なぜなら、望ましい結果は1つ（「4」）で、起こりうる結果は全部で6つだからです。

加法定理: 「または」の確率

ある事象「または」別の事象が起こる確率を求めたいときはどうすればよいでしょうか。ここで登場するのが加法定理（Addition Rule）です。

標準的な52枚のトランプを使ってみましょう。キングまたはハートを引く確率はいくらでしょうか。

私たちは次のことを知っています。 - \(P(\text{King}) = \frac{4}{52}\)（キングは4枚あります） - \(P(\text{Heart}) = \frac{13}{52}\)（ハートは13枚あります）

単純に足すと、\(P(\text{King}) + P(\text{Heart}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} = \frac{17}{52}\) となります。これは正しいでしょうか。

そうとも言えません。私たちは1枚のカードを2回数えてしまっています。それはハートのキングです。このカードはキングであると同時にハートでもあります。ハートのキングを引く確率、すなわち2つの事象の積（共通部分）は \(P(\text{King and Heart}) = \frac{1}{52}\) です。

一般的な加法定理は、この二重カウントを補正します。

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

ここで、\(A \cup B\) は「AまたはB」（和集合）を意味し、\(A \cap B\) は「AかつB」（共通部分）を意味します。

ですから、この例では次のようになります。 \[P(\text{King or Heart}) = P(\text{King}) + P(\text{Heart}) - P(\text{King and Heart}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}\]

では、2つの事象が同時には起こりえない場合はどうでしょうか。たとえば、1回のサイコロ振りで2と3が同時に出ること。これらは互いに排反（mutually exclusive）な事象と呼ばれます。この場合、両者の共通部分は空なので、\(P(A \cap B) = 0\) です。すると、定理はもっとシンプルになります。\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)。

乗法定理: 「かつ」の確率

次に、2つの事象がともに起こる確率を考えてみましょう。これには乗法定理（Multiplication Rule）を使います。この定理は、事象が独立かどうかによって変わります。

独立な事象（Independent events）とは、一方の結果がもう一方の結果に影響しない事象のことです。たとえば、コインを投げることとサイコロを振ることです。

独立な事象に対する乗法定理は次のとおりです。 \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

コインを投げて表が出て、かつサイコロを振って6が出る確率はいくらでしょうか。 - \(P(\text{Heads}) = \frac{1}{2}\) - \(P(\text{6}) = \frac{1}{6}\)

これらの事象は独立なので、両方が起こる確率は次のようになります。 \[P(\text{Heads and 6}) = P(\text{Heads}) \times P(\text{6}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\]

この2つの基本ルールを理解することは、確率を使いこなすための第一歩です。これらは、後で扱うより複雑な統計の概念の多くにとって、組み立ての土台となるものです。